許可された数字だけを使い、値が B で割り切れる長さ N の数字列の個数を求めます。先頭の桁は 0 でも構いません。状態は B で割った余りです。余り r の状態に数字 d を追加すると、余りは (10r + d) % B になります。
T[next][current] を、余り current から next に遷移させる許可数字の個数と定義します。つまり T[next][current] は next = (10 * current + d) % B を満たす数字 d の個数です。初期ベクトルでは、余り 0 の空の接頭辞が 1 個です。T を 1 回掛けると数字を 1 桁追加できるため、N 回遷移した後の余り 0 の個数が答えになります。二分累乗法を使い、初期ベクトルに T^N を適用します。入力された数字の一覧に同じ数字が複数回含まれる場合は、許可数字 1 種類として扱います。
行列の乗算と累乗にかかる時間計算量は O(B^3 log N)、許可数字の読み込みは O(K) です。行列に必要な空間計算量は O(B^2) で、B <= 100 の制約で十分実用的です。
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import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main {
static final long MOD = 1_000_000_007L;
static long[][] multiply(long[][] a, long[][] b) {
int size = a.length;
long[][] product = new long[size][size];
for (int row = 0; row < size; row++) {
for (int middle = 0; middle < size; middle++) {
if (a[row][middle] == 0) continue;
for (int column = 0; column < size; column++) {
product[row][column] =
(product[row][column] + a[row][middle] * b[middle][column]) % MOD;
}
}
}
return product;
}
static long[] multiply(long[][] matrix, long[] vector) {
int size = vector.length;
long[] product = new long[size];
for (int row = 0; row < size; row++) {
for (int column = 0; column < size; column++) {
product[row] = (product[row] + matrix[row][column] * vector[column]) % MOD;
}
}
return product;
}
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader input = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
StringTokenizer firstLine = new StringTokenizer(input.readLine());
long n = Long.parseLong(firstLine.nextToken());
int b = Integer.parseInt(firstLine.nextToken());
int k = Integer.parseInt(firstLine.nextToken());
boolean[] allowed = new boolean[10];
StringTokenizer digits = new StringTokenizer(input.readLine());
for (int i = 0; i < k; i++) {
allowed[Integer.parseInt(digits.nextToken())] = true;
}
long[][] transition = new long[b][b];
for (int current = 0; current < b; current++) {
for (int digit = 0; digit <= 9; digit++) {
if (allowed[digit]) {
int next = (10 * current + digit) % b;
transition[next][current]++;
}
}
}
long[] ways = new long[b];
ways[0] = 1;
while (n > 0) {
if ((n & 1) != 0) {
ways = multiply(transition, ways);
}
n >>= 1;
if (n > 0) {
transition = multiply(transition, transition);
}
}
System.out.println(ways[0]);
}
}