モデル化: 交差グラフと連結成分
入力された各線分をグラフの頂点とし、2つの閉線分が交差するときに限り、その頂点間に辺を張ります。グループはこのグラフの連結成分です。直接交差していなくても、交差する線分の列でつながっていれば同じグループに属します。そこで、すべての線分の組を調べ、交差する組を素集合データ構造（DSU）で併合します。すべての判定後、DSUの根の個数がグループ数、最も大きいDSU成分のサイズが最大グループの大きさです。
閉線分の正確な交差判定
3点 A、B、C に対する符号付き外積 (B.x - A.x) * (C.y - A.y) - (B.y - A.y) * (C.x - A.x) の符号から、C が有向直線 AB のどちら側にあるかが分かります。正と負は反対側、0は3点が同一直線上にあることを表します。2つの線分が内部で正しく交差するのは、各線分の両端点がもう一方の線分を含む直線に対して厳密に反対の符号を持つ場合です。外積同士を掛けず、符号を直接比較します。個々の外積が範囲内でも、その積はオーバーフローする可能性があるためです。
公式の制約は 1 ≤ N ≤ 3,000、各座標は [-5,000, 5,000] です。座標差の絶対値は最大 10,000 なので、外積を構成する各積は絶対値最大 10^8、2つの積の差は絶対値最大 2 × 10^8 です。これは符号付き64ビット整数 long long に安全に収まります。
線分の組は O(N^2) 個です。各交差判定は定数時間で、経路圧縮とサイズによる併合を行うDSU演算は償却 O(α(N)) 時間です。全体の時間計算量は O(N^2 α(N))、入力線分とDSU配列に必要な補助空間は O(N) です。
C++17
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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
struct Point {
long long x;
long long y;
};
struct Segment {
Point a;
Point b;
};
long long cross(const Point& a, const Point& b, const Point& c) {
return (b.x - a.x) * (c.y - a.y) - (b.y - a.y) * (c.x - a.x);
}
int orientation(const Point& a, const Point& b, const Point& c) {
const long long value = cross(a, b, c);
if (value > 0) return 1;
if (value < 0) return -1;
return 0;
}
bool onSegment(const Point& a, const Point& b, const Point& p) {
return min(a.x, b.x) <= p.x && p.x <= max(a.x, b.x) &&
min(a.y, b.y) <= p.y && p.y <= max(a.y, b.y);
}
bool oppositeSigns(int a, int b) {
return (a < 0 && b > 0) || (a > 0 && b < 0);
}
bool intersects(const Segment& first, const Segment& second) {
const Point& a = first.a;
const Point& b = first.b;
const Point& c = second.a;
const Point& d = second.b;
const int abC = orientation(a, b, c);
const int abD = orientation(a, b, d);
const int cdA = orientation(c, d, a);
const int cdB = orientation(c, d, b);
if (oppositeSigns(abC, abD) && oppositeSigns(cdA, cdB)) return true;
if (abC == 0 && onSegment(a, b, c)) return true;
if (abD == 0 && onSegment(a, b, d)) return true;
if (cdA == 0 && onSegment(c, d, a)) return true;
if (cdB == 0 && onSegment(c, d, b)) return true;
return false;
}
class DSU {
public:
explicit DSU(int n) : parent(n), size(n, 1) {
for (int i = 0; i < n; ++i) parent[i] = i;
}
int find(int x) {
if (parent[x] != x) parent[x] = find(parent[x]);
return parent[x];
}
void unite(int a, int b) {
a = find(a);
b = find(b);
if (a == b) return;
if (size[a] < size[b]) swap(a, b);
parent[b] = a;
size[a] += size[b];
}
int componentSize(int root) const {
return size[root];
}
private:
vector<int> parent;
vector<int> size;
};
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int n;
cin >> n;
vector<Segment> segments(n);
for (Segment& segment : segments) {
cin >> segment.a.x >> segment.a.y >> segment.b.x >> segment.b.y;
}
DSU dsu(n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
if (intersects(segments[i], segments[j])) dsu.unite(i, j);
}
}
int groupCount = 0;
int largestGroup = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (dsu.find(i) == i) {
++groupCount;
largestGroup = max(largestGroup, dsu.componentSize(i));
}
}
cout << groupCount << '\n' << largestGroup << '\n';
return 0;
}