定理
$(a_n)$を実数列とする。
- $(a_n)$が単調非減少で上に有界ならば、$\sup{a_n:n\in\mathbb{N}}$に収束する。
- $(a_n)$が単調非増加で下に有界ならば、$\inf{a_n:n\in\mathbb{N}}$に収束する。
したがって、実数の単調列が有限な実数極限を持つことと、有界であることは同値である。
単調非減少列の場合の証明
$(a_n)$が単調非減少で上に有界であるとする。その値域$A={a_n:n\in\mathbb{N}}$は空でなく、上に有界である。実数の完備性により、$A$には最小上界$L=\sup A$が存在する。
任意の$\varepsilon>0$を取る。$L-\varepsilon$は最小上界$L$より小さいため、$A$の上界ではない。したがって、ある番号$N$について
\[L-\varepsilon<a_N\leq L\]となる。
すべての$n\geq N$について、単調性と$L$が上界であることから
\[L-\varepsilon<a_N\leq a_n\leq L\]| を得る。よって、すべての$n\geq N$で$ | a_n-L | <\varepsilon$となり、$a_n\to L$が示された。 |
単調非増加列の場合は$(-a_n)$に同じ議論を適用するか、値域の最大下界を用いればよい。逆に、収束する実数列は必ず有界である。したがって、実数の単調列は有界である場合に限り有限な極限を持つ。
例
$n\geq1$に対して$a_n=1-\frac{1}{n}$とする。この列は単調非減少で、$1$を上界に持つ。上限は$1$なので、定理から$\lim_{n\to\infty}a_n=1$である。