풀이: 이분 매칭
왼쪽 정점은 직원, 오른쪽 정점은 일이라고 생각합니다. 직원이 할 수 있는 일마다 직원에서 해당 일로 간선을 연결합니다. 유효한 배정은 매칭입니다. 선택된 간선에 직원이나 일이 두 번 이상 등장할 수 없습니다. 구할 값은 최대 매칭의 크기입니다.
직원을 하나씩 처리하면서 깊이 우선 탐색으로 증가 경로를 찾습니다. 현재 직원이 할 수 있는 일 중 이번 탐색에서 아직 방문하지 않은 일을 확인합니다. 해당 일이 아직 배정되지 않았다면 바로 배정합니다. 이미 배정되었다면, 그 일을 맡은 직원을 다른 가능한 일로 옮길 수 있는지 재귀적으로 시도합니다. 재배정에 성공하면 현재 직원이 그 일을 맡을 수 있습니다. 이 과정 덕분에 앞선 직원의 선택 때문에 가능한 일이 막혀 있더라도, 이후 탐색에서 기존 배정을 바꾸어 더 큰 매칭을 만들 수 있습니다.
방문 배열은 일 기준으로 두고, 시작 직원을 바꾸기 전에 초기화합니다. 현재 일을 방문 처리한 뒤 기존 담당자를 따라가므로 순환을 막고 한 번의 탐색에서 각 일을 최대 한 번만 확인합니다. 탐색이 성공할 때마다 매칭 크기는 정확히 1 증가하고, 실패하면 크기는 그대로입니다.
입력 첫 줄에는 직원 수 N과 일의 수 M이 주어집니다. 이어지는 직원별 한 줄에는 할 수 있는 일의 개수와 일 번호(1부터 시작)가 주어집니다. 배정할 수 있는 직원의 최대 수를 출력합니다. 직원과 일은 각각 최대 한 번씩만 배정될 수 있습니다.
이 DFS 구현에서 탐색 한 번의 최악 시간은 자격 간선 수를 E라고 할 때 O(E)입니다. 직원마다 한 번씩 탐색하므로 전체 시간 복잡도는 O(N E)이고, 그래프와 매칭에 필요한 공간 복잡도는 O(N + M + E)입니다.
C++17
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#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
vector<vector<int>> eligibleJobs;
vector<int> assignedWorker;
vector<bool> visitedJob;
bool findAssignment(int worker) {
for (int job : eligibleJobs[worker]) {
if (visitedJob[job]) continue;
visitedJob[job] = true;
if (assignedWorker[job] == -1 ||
findAssignment(assignedWorker[job])) {
assignedWorker[job] = worker;
return true;
}
}
return false;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int workerCount, jobCount;
cin >> workerCount >> jobCount;
eligibleJobs.resize(workerCount);
assignedWorker.assign(jobCount, -1);
for (int worker = 0; worker < workerCount; ++worker) {
int count;
cin >> count;
eligibleJobs[worker].resize(count);
for (int& job : eligibleJobs[worker]) {
cin >> job;
--job;
}
}
int matchingSize = 0;
for (int worker = 0; worker < workerCount; ++worker) {
visitedJob.assign(jobCount, false);
if (findAssignment(worker)) ++matchingSize;
}
cout << matchingSize << '\n';
return 0;
}