문제: BOJ 11438 — LCA 2 · English · 日本語
정점 1을 루트로 잡고, 각 정점 v의 깊이와 up[v][j]를 저장합니다. up[v][j]는 v에서 간선을 2^j개 거슬러 올라간 조상입니다. 루트는 모든 단계에서 자기 자신의 조상으로 지정합니다. 이 규칙으로 조상 테이블의 모든 값이 유효해지고 루트에서의 점프도 안전해집니다.
조상 테이블은 up[v][0] = parent[v], up[v][j] = up[up[v][j - 1]][j - 1]로 계산합니다. 테이블 열 수는 N에서 구합니다. 양의 N에 대해 32 - Integer.numberOfLeadingZeros(N)개의 열이면 가능한 모든 깊이를 처리할 수 있습니다.
a, b의 LCA를 구할 때는 먼저 a가 더 깊도록 두 정점을 바꿉니다. 깊이 차이의 각 비트에 해당하는 만큼 a를 위로 올려 두 정점의 깊이를 같게 합니다. 이때 두 정점이 같아졌다면 그 정점이 LCA입니다. 그렇지 않으면 큰 점프부터 차례로 확인하면서 2^j번째 조상이 서로 다른 경우 두 정점을 함께 올립니다. 이 과정에서 두 정점은 공통 조상 아래에 머물고, 마지막에는 두 정점의 바로 위 부모가 LCA입니다.
초기 트리 탐색은 재귀 대신 명시적 스택을 사용하므로 정점 100,000개가 일렬로 연결된 경우에도 Java 호출 스택을 소진하지 않습니다. 전처리는 O(N log N) 시간과 공간을 사용하며, 각 질의는 O(log N) 시간에 처리합니다.
Java
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import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.ArrayList;
public class Main {
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader input = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
int n = Integer.parseInt(input.readLine());
ArrayList<Integer>[] graph = new ArrayList[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
graph[i] = new ArrayList<>();
}
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
String[] edge = input.readLine().split(" ");
int a = Integer.parseInt(edge[0]) - 1;
int b = Integer.parseInt(edge[1]) - 1;
graph[a].add(b);
graph[b].add(a);
}
int levels = 32 - Integer.numberOfLeadingZeros(n);
int[][] up = new int[n][levels];
int[] depth = new int[n];
boolean[] visited = new boolean[n];
int[] stack = new int[n];
int top = 0;
stack[top++] = 0;
visited[0] = true;
up[0][0] = 0;
while (top > 0) {
int vertex = stack[--top];
for (int neighbor : graph[vertex]) {
if (visited[neighbor]) {
continue;
}
visited[neighbor] = true;
up[neighbor][0] = vertex;
depth[neighbor] = depth[vertex] + 1;
stack[top++] = neighbor;
}
}
for (int j = 1; j < levels; j++) {
for (int vertex = 0; vertex < n; vertex++) {
up[vertex][j] = up[up[vertex][j - 1]][j - 1];
}
}
int queryCount = Integer.parseInt(input.readLine());
StringBuilder output = new StringBuilder();
for (int i = 0; i < queryCount; i++) {
String[] query = input.readLine().split(" ");
int a = Integer.parseInt(query[0]) - 1;
int b = Integer.parseInt(query[1]) - 1;
output.append(lca(a, b, depth, up)).append('\n');
}
System.out.print(output);
}
private static int lca(int a, int b, int[] depth, int[][] up) {
if (depth[a] < depth[b]) {
int temp = a;
a = b;
b = temp;
}
int difference = depth[a] - depth[b];
for (int j = 0; j < up[0].length; j++) {
if ((difference & (1 << j)) != 0) {
a = up[a][j];
}
}
if (a == b) {
return a + 1;
}
for (int j = up[0].length - 1; j >= 0; j--) {
if (up[a][j] != up[b][j]) {
a = up[a][j];
b = up[b][j];
}
}
return up[a][0] + 1;
}
}