크루스칼 알고리즘
신장 트리는 모든 정점을 사이클 없이 연결하는 트리입니다. 최소 스패닝 트리(MST)는 가능한 신장 트리 중 간선 가중치 합이 가장 작은 트리입니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가중치가 작은 순서로 정렬한 뒤, 양 끝점이 서로 다른 연결 요소에 속할 때만 간선을 선택합니다. 서로 연결되어 있는지는 서로소 집합(DSU) 자료구조로 확인하고, 선택한 간선의 두 요소를 합칩니다.
이 탐욕적 선택은 안전합니다. 현재 서로 다른 요소를 잇는 간선 중 가장 가벼운 간선은 컷 성질에 따라 어떤 MST에 포함될 수 있습니다. 이 선택을 반복하면 사이클 없는 포리스트가 만들어지고, V - 1개의 간선을 선택한 순간 신장 트리이자 MST가 됩니다. 간선 가중치가 음수여도 정렬과 컷 성질은 그대로 유효하므로, 음수 간선도 서로 다른 요소를 연결하면 선택해야 합니다.
간선의 양 끝점은 대칭적으로 취급하므로 입력에서 받은 두 정점을 그대로 보존하면 됩니다. 크루스칼 알고리즘을 위해 끝점을 바꿀 필요가 없습니다. 가중치는 뺄셈 비교 대신 오버플로가 없는 Integer.compare를 사용합니다. 최대 V - 1개의 int 가중치를 더한 결과는 int 범위를 넘을 수 있으므로 합계는 long으로 저장합니다. 간선 E개, 정점 V개일 때 정렬을 포함한 시간 복잡도는 O(E log E)이고, DSU 연산은 각 연산당 분할 상환 O(α(V))입니다. 공간 복잡도는 O(V + E)입니다.
Java
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import java.io.BufferedInputStream;
import java.io.IOException;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Comparator;
import java.util.List;
public class Main {
public static void main(String[] args) throws IOException {
FastScanner input = new FastScanner();
int vertexCount = input.nextInt();
int edgeCount = input.nextInt();
List<Edge> edges = new ArrayList<>(edgeCount);
for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {
int a = input.nextInt() - 1;
int b = input.nextInt() - 1;
int weight = input.nextInt();
edges.add(new Edge(a, b, weight));
}
edges.sort(Comparator.comparingInt(edge -> edge.weight));
DisjointSet sets = new DisjointSet(vertexCount);
long totalWeight = 0;
int acceptedEdges = 0;
for (Edge edge : edges) {
if (!sets.union(edge.a, edge.b)) {
continue;
}
totalWeight += edge.weight;
acceptedEdges++;
if (acceptedEdges == vertexCount - 1) {
break;
}
}
System.out.println(totalWeight);
}
private static final class Edge {
final int a;
final int b;
final int weight;
Edge(int a, int b, int weight) {
this.a = a;
this.b = b;
this.weight = weight;
}
}
private static final class DisjointSet {
private final int[] parent;
private final int[] size;
DisjointSet(int n) {
parent = new int[n];
size = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
parent[i] = i;
size[i] = 1;
}
}
private int find(int x) {
if (parent[x] != x) {
parent[x] = find(parent[x]);
}
return parent[x];
}
boolean union(int a, int b) {
int rootA = find(a);
int rootB = find(b);
if (rootA == rootB) {
return false;
}
if (size[rootA] < size[rootB]) {
int temp = rootA;
rootA = rootB;
rootB = temp;
}
parent[rootB] = rootA;
size[rootA] += size[rootB];
return true;
}
}
private static final class FastScanner {
private final BufferedInputStream input = new BufferedInputStream(System.in);
private final byte[] buffer = new byte[1 << 16];
private int length;
private int position;
private int read() throws IOException {
if (position == length) {
length = input.read(buffer);
position = 0;
if (length == -1) {
return -1;
}
}
return buffer[position++];
}
int nextInt() throws IOException {
int c;
do {
c = read();
} while (c <= ' ' && c != -1);
int sign = 1;
if (c == '-') {
sign = -1;
c = read();
}
int value = 0;
while (c > ' ') {
value = value * 10 + c - '0';
c = read();
}
return sign * value;
}
}
}