문제: BOJ 1949 — 우수 마을 · English · 日本語
각 마을에는 인구수가 주어집니다. 서로 인접한 두 마을을 동시에 선택하지 않으면서 선택한 마을들의 인구수 합을 최대로 만드는 문제입니다. 입력은 N, 각 마을의 인구수 N개, 그리고 양방향 도로 N - 1개로 이루어집니다.
마을 1을 루트로 삼아 트리를 반복문으로 순회합니다. 방문 순서를 저장한 뒤 역순으로 처리하면 재귀 없이 자식부터 부모 순으로 계산할 수 있으므로, 긴 경로에서 호출 스택이 넘치는 문제도 피합니다. 각 마을 u에 대해 두 값을 관리합니다.
take[u]:u를 선택했을 때 가능한 최대 인구수 합입니다. 자식 마을은 선택할 수 없으므로take[u] = population[u] + sum(skip[child])입니다.skip[u]:u를 선택하지 않았을 때 가능한 최대 인구수 합입니다. 각 자식은 선택하거나 선택하지 않을 수 있으므로skip[u] = sum(max(take[child], skip[child]))입니다.
정답은 루트의 max(take[root], skip[root])입니다. 인구수는 양수이므로 루트 하나만 선택해도 유효한 양수 합을 얻습니다. 따라서 아무 마을도 선택하지 않는 경우가 양수인 답보다 커질 수 없습니다. 마을이 하나뿐이면 그 인구수를 반환합니다. 경로에서는 인접한 선택이 두 상태 사이에서 경쟁하고, 별 모양에서는 중심 마을 하나를 선택하는 경우와 잎 마을들을 선택하는 경우를 비교합니다.
인접 리스트, 방문 순서, DP 배열은 각각 O(N) 공간을 사용합니다. 각 정점과 간선을 상수 횟수만큼 처리하므로 시간 복잡도는 O(N)입니다. 인구수 합이 int 범위를 넘지 않도록 DP 합계에는 long을 사용합니다.
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import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.ArrayList;
import java.util.StringTokenizer;
public class Main {
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader input = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
int n = Integer.parseInt(input.readLine().trim());
long[] population = new long[n];
StringTokenizer values = new StringTokenizer(input.readLine());
for (int i = 0; i < n; i++) {
population[i] = Long.parseLong(values.nextToken());
}
ArrayList<Integer>[] graph = new ArrayList[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
graph[i] = new ArrayList<>();
}
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
StringTokenizer edge = new StringTokenizer(input.readLine());
int a = Integer.parseInt(edge.nextToken()) - 1;
int b = Integer.parseInt(edge.nextToken()) - 1;
graph[a].add(b);
graph[b].add(a);
}
int[] parent = new int[n];
int[] order = new int[n];
int size = 0;
order[size++] = 0;
parent[0] = -1;
for (int i = 0; i < size; i++) {
int node = order[i];
for (int neighbor : graph[node]) {
if (neighbor == parent[node]) {
continue;
}
parent[neighbor] = node;
order[size++] = neighbor;
}
}
long[] take = new long[n];
long[] skip = new long[n];
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
int node = order[i];
take[node] = population[node];
for (int child : graph[node]) {
if (parent[child] == node) {
take[node] += skip[child];
skip[node] += Math.max(take[child], skip[child]);
}
}
}
System.out.println(Math.max(take[0], skip[0]));
}
}