Definition
定義 1. 集合
集合とは、文脈で推定される「物の集まり」であって、その存在が示され、かつ、所属性質問に答えらるものを言う。
定義 2. 外延的定義、内包的定義
- 外延的定義： 最初から幾つかを示し、可能でなれば第 n 番目の要素などを示す、残りは…で表現することが多い。
- 内包的定義： 集合の要素が満足すべき性質を記すこと。
英小文字の集合は $\sum$ = $\left\{a,b,c,…,z\right\}$ と書かれる。
定義 3. 部分集合
集合 X のすべての要素がまた集合 Y の要素であるとき、「X は Y の部分集合である」といい、$X\subseteq Y$と書く。
定義 4. 合併集合
集合 X または集合 Y のどちらかの要素、あるいは、両方の要素からなる集合を「X と Y の合併集合」と呼び、$X \cup Y$と書く。
定義 5. 共通集合
集合 X と集合 Y の両方に属する要素からなる集合を「X と Y の共通集合」と呼び、$X \cup Y$と書く。
定義 6. 差集合
集合 X には属するが集合 Y には属さない要素からなる集合を「X の Y による差集合」と呼び、$X \setminus Y$と書く。
定義 7. 補集合
全体集合 U の要素で集合 X に属さない要素からなる集合を「X の補集合」と呼び、$\bar{X}, X^c$と書く。
定義 8. 空集合
$\emptyset$ は要素を持たない集合を言う。すべての集合の部分集合となる。
定義 9. べき集合
一つの集合 X のすべての部分集合からなる集合。空集合と全体集合も入る。
$Powerset(X), P(X), 2^X, 2^{\mid X \mid}$のように書く。
定義 10. 直積、順序対
(Direct product, Ordered pair)
$A \times B = \left\{(a, b) \ \mid \ a \in A, b \in B\right\} $
一般に、n 個の集合の直積は $X_{1} \times X_{2} \times … \times X_{n}$ $=\left\{x_{1}, x_{2},…,x_{n} \ \mid \ x_{i} \in X_{i}, 1 \leq i \leq n\right\}$
特に $\forall i, X_{i}=X$ の場合は $X^n$ と書く。
定義 11. 対称差、排他的論理和
(Symmetric difference, Exclusive or)
$A \Delta B \colon = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A\cup B)\setminus(A\cap B)$
定義 12. 群、単位半群(モノイド)、可換群、位数
Group, Semigroup, Abel Group == Commutattive group, Order
一つの集合とその集合上の 2 項演算の組$(X, \cdot)$が「群」であるとは、以下の４つの条件が満たされるときできる。
閉性 $\forall x, y \in X, x \cdot y \in X$
結合法則 $\forall x, y, z \in X, (x \cdot y) \cdot = x \cdot (y \cdot z)$
単位元の存在 $\exists e, \forall x \in X, x \cdot e = e \cdot x = x$
逆元の存在 $\forall x, \exists y \in X, x \cdot y = y \cdot x = e$
このうち、逆元の存在だけが成立しない場合、「単位半群(モノイド)」と呼ばれる。
この４つの条件に加えてさらに、
(交換法則)： $\forall x, y\in X, x\cdot y = y \cdot x$
が成立すると「可換群」と呼ばれる。
有限群では集合 X の要素数を「位数」と呼ぶ。
定義 13. 対数的数、超越数 Transcendental number
有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数を「代数的数」、それ以外の複素数を「超越数」と呼ぶ。
定義 14. 写像 Mapping
集合 X,Y について X の一つの要素に Y の要素が一つ対応するとき、この対応を「X から Y への写像」と呼ぶ。
$f \colon X \Rightarrow Y$
$X \ni x \mapsto y = f(x) \in Y$
X の「定義域」あるいは「始域」(domain)、Y を「終域」と呼ぶ(codomain)。さらに、$f(x)=\left\{y \ \mid y = f(x), x \in X \right\} \subseteq Y$ を「地域」と呼ぶ。(range)
定義 15. 全射、単射、全単射
Surjective, Injective == One-to-one, Bijective == One-to-one Correspondence
写像 $f \colon X \Rightarrow Y$ において、以下の種別がある。
（全射）$\forall y \in Y, \exists x \in$ $such$ $that$ $f(x) = y$
（単射）$f(x)=f(x^\prime) \Rightarrow x = x^\prime$
（全単射）全射かつ単射
定義 16. 逆写像
写像 $f \colon X \Rightarrow Y$ が全単射であるとき $f^{-1} \colon Y \Rightarrow X$ と書く。
$Y \ni y \mapsto x = f^{-1}(y)$
定義 17. 対等
二つの集合が「対等」であるとは、A から B への全単射が存在するときを言う。
$A~B$と書く。
定義 18. 濃度
加算（可付番）集合の「濃度」:とは、有限集合では要素数である。それ以外の時は、$\mathbb{N}$と対等であれば「加算濃度」や「連続濃度」と呼ばれる。加算濃度を持つ集合は「加算集合」あるいは「可付番集合」と呼ばれる。
一般に$\mid A \mid$や$|A|$のように書かれる。
定義 19. 濃度の大小
A, B において、A から B への単射が存在するとき、$\mid A \mid \leq \mid B \mid$と書き、
「A（の濃度）は B（の濃度）と同じかそれより小さい。」と言う。
全単射が存在せず、単射のみが存在するときは、
$\mid A \mid < \mid B \mid$や「A（の濃度）は B（の濃度）より小さい。」と言う。