Analysis - 해석학(1)

Definition

정의 1. 집합

집합이란 문맥상 추정이 가능한 것들의 집합이며 이는 소속성 질문에 대답할 수 있다는 것을 뜻한다.

정의 2. 집합의 외연적정의, 내포적 정의 Denotation, Connotation

1. 외연적 정의： 처음의 원소부터 일정 개수의 원소를 열거, 가능하다면 일반항 $a_{n}$의 요소를 표현하고 나머지는 $\ldots$로 표현하는 경우가 많다.
   특별히 영소문자의 경우 $\sum$ = $\left\{a,b,c,…,z\right\}$ 로 표기 하는 경우가 있다.
2. 내포적 정의：　집합의 요소가 만족하는 성질을 표현한 것이다.

정의 3. 부분집합

집합 $X$의 모든 요소가 집합 $Y$의 요소일때 집합$X$는 집합 $Y$의 부분집합이라고 하며 다음과 같이 표현한다. $X \subseteq Y$

정의 4. 합집합

집합 $Z$의 모든 요소가 집합 $X$ 또는 $Y$의 요소일때 집합$Z$는 집합 $X$와 합집합 $Y$의 합집합이라고 하며 다음과 같이 표현한다. $X \cup Y = Z합 합 —

정의 5. 교집합

집합 $Z$의 모든 요소가 집합 $X$ 과 $Y$의 요소일때 집합$Z$는 집합 $X$와 교집합 $Y$의 합집합이라고 하며 다음과 같이 표현한다. $X \cup Y = Z합

定義 5. 共通集合

集合 X と集合 Y の両方に属する要素からなる集合を「X と Y の共通集合」と呼び、$X \cup Y$と書く。

定義 6. 差集合

集合 X には属するが集合 Y には属さない要素からなる集合を「X の Y による差集合」と呼び、$X \setminus Y$と書く。

定義 7. 補集合

全体集合 U の要素で集合 X に属さない要素からなる集合を「X の補集合」と呼び、$\bar{X}, X^c$と書く。

定義 8. 空集合

$\emptyset$ は要素を持たない集合を言う。すべての集合の部分集合となる。

定義 9. べき集合

一つの集合 X のすべての部分集合からなる集合。空集合と全体集合も入る。
$Powerset(X), P(X), 2^X, 2^{\mid X \mid}$のように書く。

定義 10. 直積、順序対
$A \times B = \left\{(a, b) \ \mid \ a \in A, b \in B\right\}$
(Direct product, Ordered pair)

一般に、n個の集合の直積は $X_{1} \times X_{2} \times … \times X_{n}$ $=\left\{x_{1}, x_{2},…,x_{n} \ \mid \ x_{i} \in X_{i}, 1 \leq i \leq n\right\}$
特に $\forall i, X_{i}=X$ の場合は $X^n$ と書く。

定義 11. 対称差、排他的論理和
(Symmetric difference, Exclusive or)

$A \Delta B \colon = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A\cup B)\setminus(A\cap B)$

定義 12. 群、単位半群(モノイド)、可換群、位数
(=> Group, Semigroup, Abel Group == Commutattive group, Order)

一つの集合とその集合上の 2 項演算の組$(X, \cdot)$が「群」であるとは、以下の４つの条件が満たされるときできる。
閉性 $\forall x, y \in X, x \cdot y \in X$
結合法則 $\forall x, y, z \in X, (x \cdot y) \cdot = x \cdot (y \cdot z)$
単位元の存在 $\exists e, \forall x \in X, x \cdot e = e \cdot x = x$
逆元の存在 $\forall x, \exists y \in X, x \cdot y = y \cdot x = e$
このうち、逆元の存在だけが成立しない場合、「単位半群(モノイド)」と呼ばれる。
この４つの条件に加えてさらに、
(交換法則)： $\forall x, y\in X, x\cdot y = y \cdot x$
が成立すると「可換群」と呼ばれる。
有限群では集合 X の要素数を「位数」と呼ぶ。

定義 13. 対数的数、超越数
(Transcendental number)

有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数を「代数的数」、それ以外の複素数を「超越数」と呼ぶ。

定義 14. 写像
(mapping)

集合 X,Y について X の一つの要素に Y の要素が一つ対応するとき、この対応を「X から Y への写像」と呼ぶ。
$f \colon X \Rightarrow Y$
$X \ni x \mapsto y = f(x) \in Y$
X の「定義域」あるいは「始域」(domain)、Y を「終域」と呼ぶ(codomain)。さらに、$f(x)=\left\{y \ \mid y = f(x), x \in X \right\} \subseteq Y$ を「地域」と呼ぶ。(range)

定義 15. 全射、単射、全単射
(surjective, injective == one-to-one, bijective == one-to-one correspondence)

写像　$f \colon X \Rightarrow Y$ において、以下の種別がある。
（全射）$\forall y \in Y, \exists x \in$ $such$ $that$ $f(x) = y$
（単射）$f(x)=f(x^\prime) \Rightarrow x = x^\prime$
（全単射）全射かつ単射

定義 16.　逆写像

写像 $f \colon X \Rightarrow Y$ が全単射であるとき $f^{-1} \colon Y \Rightarrow X$ と書く。
$Y \ni y \mapsto x = f^{-1}(y)$

定義 17. 対等

二つの集合が「対等」であるとは、A から B への全単射が存在するときを言う。
$A~B$と書く。

定義 18. 濃度

加算（可付番）集合の「濃度」:とは、有限集合では要素数である。それ以外の時は、$\mathbb{N}$と対等であれば「加算濃度」や「連続濃度」と呼ばれる。加算濃度を持つ集合は「加算集合」あるいは「可付番集合」と呼ばれる。
一般に$\mid A \mid$や$|A|$のように書かれる。

定義 19. 濃度の大小

A, B において、A から B への単射が存在するとき、$\mid A \mid \leq \mid B \mid$と書き、
「A（の濃度）は B（の濃度）と同じかそれより小さい。」と言う。
全単射が存在せず、単射のみが存在するときは、
$\mid A \mid < \mid B \mid$や「A（の濃度）は B（の濃度）より小さい。」と言う。