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Analysis - 해석학(1)

Definition


정의 1. 집합

집합이란 문맥상 추정이 가능한 것들의 집합이며 이는 소속성 질문에 대답할 수 있다는 것을 뜻한다.


정의 2. 집합의 외연적정의, 내포적 정의 Denotation, Connotation

  1. 외연적 정의: 처음의 원소부터 일정 개수의 원소를 열거, 가능하다면 일반항 an의 요소를 표현하고 나머지는 로 표현하는 경우가 많다.
    특별히 영소문자의 경우 = {a,b,c,,z} 로 표기 하는 경우가 있다.
  2. 내포적 정의: 집합의 요소가 만족하는 성질을 표현한 것이다.

정의 3. 부분집합

집합 X의 모든 요소가 집합 Y의 요소일때 집합X는 집합 Y의 부분집합이라고 하며 다음과 같이 표현한다. XY


정의 4. 합집합

집합 Z의 모든 요소가 집합 X 또는 Y의 요소일때 집합Z는 집합 X와 합집합 Y의 합집합이라고 하며 다음과 같이 표현한다. $X \cup Y = Z합 합 —

정의 5. 교집합

집합 Z의 모든 요소가 집합 XY의 요소일때 집합Z는 집합 X와 교집합 Y의 합집합이라고 하며 다음과 같이 표현한다. $X \cup Y = Z합

定義 5. 共通集合

集合 X と集合 Y の両方に属する要素からなる集合を「X と Y の共通集合」と呼び、XYと書く。


定義 6. 差集合

集合 X には属するが集合 Y には属さない要素からなる集合を「X の Y による差集合」と呼び、XYと書く。


定義 7. 補集合

全体集合 U の要素で集合 X に属さない要素からなる集合を「X の補集合」と呼び、ˉX,Xcと書く。


定義 8. 空集合

は要素を持たない集合を言う。すべての集合の部分集合となる。


定義 9. べき集合

一つの集合 X のすべての部分集合からなる集合。空集合と全体集合も入る。
Powerset(X),P(X),2X,2Xのように書く。


定義 10. 直積、順序対
A×B={(a,b)  aA,bB}
(Direct product, Ordered pair)

一般に、n個の集合の直積は X1×X2××Xn ={x1,x2,,xn  xiXi,1in}
特に i,Xi=X の場合は Xn と書く。


定義 11. 対称差、排他的論理和
(Symmetric difference, Exclusive or)

AΔB:=(AB)(BA)=(AB)(AB)


定義 12. 群、単位半群(モノイド)、可換群、位数
(=> Group, Semigroup, Abel Group == Commutattive group, Order)

一つの集合とその集合上の 2 項演算の組(X,)が「群」であるとは、以下の4つの条件が満たされるときできる。
閉性 x,yX,xyX
結合法則 x,y,zX,(xy)=x(yz)
単位元の存在 e,xX,xe=ex=x
逆元の存在 x,yX,xy=yx=e
このうち、逆元の存在だけが成立しない場合、「単位半群(モノイド)」と呼ばれる。
この4つの条件に加えてさらに、
(交換法則): x,yX,xy=yx
が成立すると「可換群」と呼ばれる。
有限群では集合 X の要素数を「位数」と呼ぶ。


定義 13. 対数的数、超越数
(Transcendental number)

有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数を「代数的数」、それ以外の複素数を「超越数」と呼ぶ。


定義 14. 写像
(mapping)

集合 X,Y について X の一つの要素に Y の要素が一つ対応するとき、この対応を「X から Y への写像」と呼ぶ。
f:XY
Xxy=f(x)Y
X の「定義域」あるいは「始域」(domain)、Y を「終域」と呼ぶ(codomain)。さらに、f(x)={y y=f(x),xX}Y を「地域」と呼ぶ。(range)


定義 15. 全射、単射、全単射
(surjective, injective == one-to-one, bijective == one-to-one correspondence)

写像 f:XY において、以下の種別がある。
(全射)yY,x such that f(x)=y
(単射)f(x)=f(x)x=x
(全単射)全射かつ単射


定義 16. 逆写像

写像 f:XY が全単射であるとき f1:YX と書く。
Yyx=f1(y)


定義 17. 対等

二つの集合が「対等」であるとは、A から B への全単射が存在するときを言う。
A Bと書く。


定義 18. 濃度

加算(可付番)集合の「濃度」:とは、有限集合では要素数である。それ以外の時は、Nと対等であれば「加算濃度」や「連続濃度」と呼ばれる。加算濃度を持つ集合は「加算集合」あるいは「可付番集合」と呼ばれる。
一般にA|A|のように書かれる。


定義 19. 濃度の大小

A, B において、A から B への単射が存在するとき、A∣≤∣Bと書き、
「A(の濃度)は B(の濃度)と同じかそれより小さい。」と言う。
全単射が存在せず、単射のみが存在するときは、
A∣<∣Bや「A(の濃度)は B(の濃度)より小さい。」と言う。


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