Definition
정의 1. 환, 체, 분배법칙
Ring, Field, Distributive law
집합과 그 집합위의 연산 $+,\cdot$의 두가지 이항연산자로 구성되는 쌍
$(X, +, \cdot)$이 환이라함은 다음 과 같은 3가지 성질을 만족할 때이다.
- 덧셈에 대한 가환성(commutative) $(X, +)$에 대해서 가환군(아벨군)이다.
- 곱셈에 대한 결합법칙(associative law of multiplication) $\forall x, y, z \in X \Rightarrow (x\cdot y)\cdot z = x \cdot (y \cdot z)$
- 분배법칙 $\forall x, y, z \in X \Rightarrow x \cdot(y + z) = x \cdot y + x \cdot z$ $and$ $(x+y)\cdot z = x \cdot z + y \cdot z라
추가적으로 곱에 대한 교환법칙($\forall x, y \in X \Rightarrow x \cdot y = y \cdot x $)을 만족할때 가환환(commutative ring)이라 불린다. 또한, 가환환의 조건에 더해 다음과 같은 3가지 성질이 성립할때 체(field)라고 불린다.
- 곱셈에대해 닫혀있다 $\forall x, y \in X \Rightarrow x\cdot y \in X$
- 곱셈에 대한 항등원을 가진다 $\forall x, y \in X \Rightarrow x\cdot y \in X$
- 곱셈에 대한 역원을 가진다 $\forall x, y \in X \Rightarrow x\cdot y \in X$
이에 더해 곱에 대한 교환 법칙이 성립할때 가환체라고 하며 일반적으로 체라고 하면 가환체를 말하는 경우가 많다.
정의 2. 거리
공집합이 아닌 집합 $X$의 원소 $a,b$에 대해 실수함수 $d(x,y)$가 정의되며 다음과 같은 4가지 조건을 만족할때 $d$는 $X$의 거리라고 말할 수 있다.
- 거리는 음수가 아니다 $d(x, y) \geq 0$
- 대칭성 $x, y \in X \Rightarrow d(x,y) = d(y,x)$
- 삼각부등식 $x, y, z \in X \Rightarrow d(x,z) \leq d(x,y) + d(y, z)$
- 식별불가능자 동일성 원리 $d(x,y) = 0 \iff x = y $
위의 성질들중 4번을 만족하지 않고 $d(x,y) = 0 \Rightarrow x = y$만을 만족할때
유사거리(pseudometric distance) 혹은 반거리(semimetric distance)라고 불린다.
정의 3. 거리공간 Metric Space
집합 $X$와 거리함수$d$로 이루어진 쌍 $(X, d)$를 거리공간이라고 정의한다.
정의 4. 유클리드 거리 Euclidean Distance
n차원 유클리드 공간 $(\mathbb{R}^n, d)$는 대표적인 거리공간중 하나이며
$\mathbb{R}^n$는 길이 n의 벡터 $x=(x_{1], x_{2}, \ldots , x_{n}}), x_{i} \in \mathbb{R}, i = 1, 2,\ldots , n$ 전체로 구성된 집합이다.
이때 두 점 x, y의 거리는 다음과 같이 정의된다.
$d(x, y) \colon = (\displaystyle\sum_{i=1}^n \mid x_{i} - y {i} \mid^2)^{1 \over 2}$
정의 5. 구 Open ball
경계를 포함하지 않은 구로 중심을 $x_{0}$라고 하면 다음과 같이 표현된다.
$B_{r}(x_{0}) = \left\{ x \in X \ \mid \ d(x_{0}, x) < r \right\}$
정의 6. 근방 Neighborhood
거리공간 $X$와 점 $p \in X$, 거리 $r > 0$ 에 대하여 근방은 다음과 같이 정의한다.
$N_{r}(p) = \left\{q \ \mid \ q \in X \land d(p, q) < r\right\}$
$N_{r}(p) \setminus \left\{p\right\}$ 를 $N_{r}^{\prime}(p)$ 라고도 표기한다.
정의 7. 집적점, 한계점(Limit Point)
거리공간 $X$와 $X$의 부분 집합 $E$를 잡자. 점 $ p \in X$ 에 대해
$\forall r > 0, N_{r}^{\prime}(p) \in E \neq \emptyset$
가 만족된다면 $p$를 $E$의 집적점이라고 한다.
정의 8. 내부점, 외부점(Interior Point, Exterior Point)
거리공간 $X$와 $X$의 부분 집합 $E$를 잡자. 점 $ p \in X$ 에 대해 이 $\exists r > 0$ $such$ $that$ $N_{r}^{\prime}(p) \in E \neq \emptyset$
가 만족된다면 $p$를 $E$의 내부점이라고 한다. 또한, $E^c = X \setminus E$ 의 내부점을 $E$의 외부점이라고 한다. 일반적인 집합의 여접합과는 달리 $E \cap E^c = \emptyset$ 이 성립한다.
정의 9. 열린 집합, 닫힌 집합
Open set, Closed set
거리공간 $(X, d)$에 대해서 $X$의 부분 집합, $E \subseteq X$를 생각하자. 다음이 성립할때
$\forall x \in E, \exists r > 0$ $such \ that$ $B_{r}(x) \subseteq E$ $U$를 $X$의 열린 집합(open set)이라 하며 닫힌 집합(closed set)는 $closed = open^c$ 여집합이 된다.
다시 표현하면 E의 모든 점이 E의 interior point일때 E는 열려있다고 하며 E를 열린 집합,
E의 모든 limit point가 E의 원소일때 E는 닫혀있다고 하며 E를 닫힌 집합이라 한다.
정의 10. 덮개 Cover
용어대로 특정 거리공간을 덮는다. 거리공간 $X$와 $X$의 부분 집합 $E$를 잡자. 집합족 $\mathcal{F} = \left\{\mathit{O}_{\alpha} \ \mid \ \alpha \in \mathit{I}\right\}$에 대해
- $E \subset \bigcup_{\alpha \in \mathit{I}} \mathit{O}_{\alpha}$ 일때, $\mathcal{F}$는 $E$의 덮개라 한다.
- $\mathcal{F}$의 모든 원소가 open set이라면 $\mathcal{F}$는 open cover이다.
- $\mathcal{F}$의 부분집합족(family of subsets) $\mathcal{S} \subset P(\mathcal{F})$가 $E$의 cover일때, $\mathcal{S}$을 $\mathcal{F}$의 subcover(부분 덮개)라고 한다.
- $\mid \mathcal{F} \mid \in \mathbb{N}$일때 $\mathcal{S}$를 finite subcover(유한 부분 덮개)라고 한다.
정의 11. 컴팩트 집합 Compact Set
compact한 집합이라는 어감대로 유한성과 관련이 있다.
거리공간 $X$와 $X$의 부분 집합 $E$를 잡자. 이때,
- 한가지 표현으로
$\forall \mathcal{C}=Open \ cover \ of E$, $\exists \mathcal{S}$ $which \ is \ finite$ $subcover \ of \ \mathcal{C}$
를 만족한다면 $E$는 compact하다고 하며 Compact Set이라고 한다. - 다르게 표현하자면
$\forall \mathcal{C}=Open \ cover \ of E$ 에 대해
$\exists A = \left\{\alpha \ \mid \ \alpha \in \mathit{I} \right\}, s.t$
$E \subset \bigcup_{\alpha \in A} \alpha$ 를 만족할때 $E$는 Compact Set이다.
정의 12. 순서집합 Ordered Set
순서집합 $A$는 다음과 같은 3가지 성질을 만족하는 집합이다.
- Symmetric 반사율 $\forall a \in A, a \leq a$
- Anti-symmetric 반대칭율 $(a\leq b) \land (b \leq c) \Rightarrow a \leq c$
- Transitive 추이율 $(a\leq b) \land (b \leq a) \Rightarrow a = b$
정의 13. 상계, 하계, 상한, 하한
Upper bound, Lower bound, Supremum, Infimum
Ordered Set $(X, \leq)$의 부분 집합 $A \subset X$에 대하여
$\exists a, \forall x \in A$ $s.t \ x \leq a$ 가 만족될때
$a$를 상계(Upper bound)라부르며 $X$는 ‘위로 유계’(Bounded from above)라고 한다.
$sup\ A \ = min(A) \land u \in X$ 를 상한(Supremum)이라 한다.
하계(Lower bound)와 ‘아래로 유계’(Bounded from below), 하한(Infimum, $inf \ A$)은 반대로 정의 된다.
정의 14. 유리수의 조밀성, 실수의 조밀성
임의의 서로 다른 두 실수를 잡았을때, 그 사이에 반드시 실수가 존재한다는 것을 실수의 조밀성이라 한다. 특히, 두 실수 사이에 반드시 무리수가 존재한다는 성질을 무리수의 조밀성이라 한다. $\forall p, q \in \mathbb{R} \land p < q,$ $\exists r \in \mathbb{R} \ s.t p < r < q$ $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ 으로부터 유리수의 조밀성이 성립함도 자명하다.
정리 15. 실수의 완비성
실수 $A = \left\{a_{1}, a_{2}, \ldots ,a_{n}, \ldots\right\}$를 생각하자. $\forall \epsilon > 0, \exists n_{0}$ $s.t$ $\forall n, m \geq n_{0} \Rightarrow \mid a_{n} - a{m} \mid < \epsilon$ 일때, $A$는 코시 열(Cauchy sequence)이라 한다.
이러한 임의 Cauchy sequence가 수렴할때 그 공간은 complete(완비)하다고 한다.
$\mathbb{R}$는 Complete metric space이며 이를 실수의 완비성이라고 한다.
정리 16. 상극한, 하극한 Limit superior, Limit inferior
집합족 $\mathcal{F} = \left\{ A_{n} \ \mid \ n \in \mathbb{N} \right\}$의 상극한, 하극한은 다음과 같이 정의된다.
$ \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} A{n}$ $\displaystyle = \bigcap{n=1}^{\infty} \bigcup{k = n}^{\infty}A{k}$
$ \underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} A{n}$ $= \displaystyle\bigcup{n=1}^{\infty} \bigcap{k = n}^{\infty}A{k}$ 수열 ${a_{n}}$에 대한 상극한 하극한은 다음과 같이 정의된다. $ \underset{n \to \infty}{\overline{\lim}} a{n}$ $\displaystyle = \inf{n=1}^{\infty} \sup{k = n}^{\infty}A{k}$
$ \underset{n \to \infty}{\underline{\lim}} a{n}$ $= \displaystyle\sup{n=1}^{\infty} \inf{k = n}^{\infty}A{k}$