# Definition
In the mathematical field of real analysis, the monotone convergence theorem is any of a number of related theorems proving the convergence of monotonic sequences (sequences that are non-decreasing or non-increasing) that are also bounded. Informally, the theorems state that if a sequence is increasing and bounded above by a supremum, then the sequence will converge to the supremum; in the same way, if a sequence is decreasing and is bounded below by an infimum, it will converge to the infimum.
(reference)
실해석학에서 Monotone Convergence Theorem이란 어떤 단조 수열(monotonic sequences)의 수렴성을 증명하는 과정에서 등장하는 모든 이론을 총칭한다.
따라서 일반적인 경우 Monotone Convergence Theorem이라 함은 다음을 칭하는 경우가 많다.
Informally, the theorems state that if a sequence is increasing and bounded above by a supremum, then the sequence will converge to the supremum; in the same way, if a sequence is decreasing and is bounded below by an infimum, it will converge to the infimum.
(reference)
단조 증가 수열이며 상계가 존재한다면 이 수열은 상한으로 수렴한다.
마찬가지로, 단조 감소 수열이며 하계가 존재한다면 하한으로 수렴한다.
라는 정리이다.
증명해보자.
단조 증가 수열과 단조 감소 수열의 증명은 동일한 논리의 흐름을 따라 가기에 단조 증가 수열에 대해서만 증명하겠다.
공집합이 아니며 상계가 존재하는 단조 증가 수열 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 의 원소들로 이루어진 집합 $\left\{a_{n}\right\}$를 생각하자.
이때 실수의 완비성 공리(completeness of the real numbers)에 의해(또는 최소 상계 성질, Least-upper-bound property에 의해) 상한 $ub = sup_{n}\left\{a_{n}\right\}$ 이 존재한다.
$Lemma \ 1)$ $ For \ \epsilon > 0 \in \mathbb{R}$ $\exists N \in \mathbb{N}$ $s.t$ $a_{N} > sup_{n}\left\{a_{n}\right\} - \epsilon$
$a_{N} > sup_{n}\left\{a_{n}\right\} - \epsilon$ 을 만족하는 N이 존재하지 않는 다고 가정하면 이는 상계이며 $sup_{n}{a_{n}}$ 보다 작기에 모순이다.
$Lemma \ 2)$ $\limsup (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = sup_{n}\left\{a_{n}\right\}$
$Lemma \ 1$에 의해, 임의의 $N$보다 크거나 같은 자연수 $\forall n \in \mathbb{N}, n \leq N$에 대하여 $sup_{n}\left\{a_{n}\right\} - a_{n} \leq$ $sup_{n}\left\{a_{n}\right\} - a_{N} < \epsilon$이 성립한다.
극한의 정의에 따라 $\limsup (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = sup_{n}\left\{a_{n}\right\}$임이 증명된다.
$Lemma \ 1$, $Lemma \ 2$ 로부터 다음과 같은 정리가 얻어진다.
If $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ is a monotone sequence of real numbers (i.e., if $a_n \leq a_n+1$ for every $n \geq 1$ or $a_n \geq a_n+1$ for every $n \geq 1$), then this sequence has a limit if and only if the sequence is bounded.[1]
(reference)