問題: AtCoder ABC 237 E — Skiing · English · 한국어
頂点 1 から頂点 v までの経路で、登った高さの合計を U、下った高さの合計を D とします。この経路での幸福度の変化は D - 2U です。1 だけ下ると幸福度が 1 増え、1 だけ登ると 2 減るためです。経路全体の高さの変化は H[v] - H[1] = U - D なので、D = U + H[1] - H[v] となり、幸福度は H[1] - H[v] - U と表せます。目的地 v を固定するとその高さは一定です。したがって、幸福度を最大化するには登った高さの合計 U を最小化すればよいです。
各双方向道路 u-v に、方向ごとのコストを設定します。u から v へ進むコストは、その区間で登る高さ max(0, H[v] - H[u]) です。逆向きのコストは max(0, H[u] - H[v]) です。下り坂と同じ高さの区間のコストは 0 になります。すべてのコストが非負なので、ダイクストラ法で頂点 1 から各到達可能な頂点までの最小累積上昇量を求められます。道路は双方向でも、方向ごとのコストは異なることがあります。特に高さが等しい道路は両方向ともコスト 0 です。
到達可能な各頂点 v の幸福度は H[1] - H[v] - dist[v] です。ここで dist[v] は最小累積上昇量です。始点から到達できない頂点には経路がないため、答えの計算から除外します。始点自身には幸福度 0 で到達できるので、答えを 0 で初期化します。高さの差、距離、幸福度には long を使い、加算によるオーバーフローを防ぎます。時間計算量は O((N + M) log N)、空間計算量は O(N + M) です。
Java
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import java.io.BufferedInputStream;
import java.io.IOException;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
import java.util.PriorityQueue;
public class Main {
private static class Edge {
int to;
long climb;
Edge(int to, long climb) {
this.to = to;
this.climb = climb;
}
}
private static class State implements Comparable<State> {
int vertex;
long distance;
State(int vertex, long distance) {
this.vertex = vertex;
this.distance = distance;
}
@Override
public int compareTo(State other) {
return Long.compare(distance, other.distance);
}
}
private static class FastScanner {
private final BufferedInputStream input = new BufferedInputStream(System.in);
private final byte[] buffer = new byte[1 << 16];
private int length;
private int position;
private int read() throws IOException {
if (position == length) {
length = input.read(buffer);
position = 0;
if (length == -1) {
return -1;
}
}
return buffer[position++];
}
long nextLong() throws IOException {
int c;
do {
c = read();
} while (c <= ' ' && c != -1);
long value = 0;
while (c > ' ') {
value = value * 10 + c - '0';
c = read();
}
return value;
}
}
public static void main(String[] args) throws IOException {
FastScanner scanner = new FastScanner();
int n = (int) scanner.nextLong();
int m = (int) scanner.nextLong();
long[] height = new long[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
height[i] = scanner.nextLong();
}
List<List<Edge>> graph = new ArrayList<>(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
graph.add(new ArrayList<>());
}
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u = (int) scanner.nextLong() - 1;
int v = (int) scanner.nextLong() - 1;
graph.get(u).add(new Edge(v, Math.max(0L, height[v] - height[u])));
graph.get(v).add(new Edge(u, Math.max(0L, height[u] - height[v])));
}
long[] distance = new long[n];
Arrays.fill(distance, Long.MAX_VALUE);
distance[0] = 0;
PriorityQueue<State> queue = new PriorityQueue<>();
queue.add(new State(0, 0));
while (!queue.isEmpty()) {
State current = queue.poll();
if (current.distance != distance[current.vertex]) {
continue;
}
for (Edge edge : graph.get(current.vertex)) {
long nextDistance = current.distance + edge.climb;
if (nextDistance < distance[edge.to]) {
distance[edge.to] = nextDistance;
queue.add(new State(edge.to, nextDistance));
}
}
}
long answer = 0;
for (int v = 0; v < n; v++) {
if (distance[v] != Long.MAX_VALUE) {
answer = Math.max(answer, height[0] - height[v] - distance[v]);
}
}
System.out.println(answer);
}
}