문제: AtCoder ABC 237 E — Skiing · English · 日本語
정점 1에서 정점 v까지 가는 경로에서 오른 총 높이를 U, 내려간 총 높이를 D라고 하겠습니다. 경로의 행복도 변화량은 D - 2U입니다. 1만큼 내려가면 행복도가 1 증가하고, 1만큼 오르면 2 감소하기 때문입니다. 전체 높이 변화는 H[v] - H[1] = U - D이므로 D = U + H[1] - H[v]이고, 행복도는 H[1] - H[v] - U로 정리됩니다. 목적지 v를 고정하면 높이는 정해져 있으므로, 행복도를 최대화하려면 총 상승량 U를 최소화해야 합니다.
각 양방향 도로 u-v에 두 방향의 비용을 부여합니다. u에서 v로 갈 때의 비용은 해당 구간에서 오른 높이인 max(0, H[v] - H[u])이고, 반대 방향 비용은 max(0, H[u] - H[v])입니다. 내리막과 높이가 같은 구간은 비용이 0입니다. 모든 비용이 음수가 아니므로 다익스트라 알고리즘으로 정점 1에서 각 도달 가능한 정점까지의 최소 누적 상승량을 구할 수 있습니다. 도로 자체는 양방향이어도 방향별 비용은 다를 수 있으며, 특히 같은 높이의 도로는 양쪽 모두 비용이 0입니다.
도달 가능한 각 정점 v의 행복도는 H[1] - H[v] - dist[v]입니다. dist[v]는 최소 누적 상승량입니다. 시작점에서 갈 수 없는 정점은 경로가 없으므로 계산에서 제외해야 합니다. 시작점은 자기 자신에게 행복도 0으로 도달 가능하므로 답을 0으로 초기화합니다. 높이 차이와 거리, 행복도에는 long을 사용해 누적 중 오버플로를 방지합니다. 시간 복잡도는 O((N + M) log N), 공간 복잡도는 O(N + M)입니다.
Java
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import java.io.BufferedInputStream;
import java.io.IOException;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
import java.util.PriorityQueue;
public class Main {
private static class Edge {
int to;
long climb;
Edge(int to, long climb) {
this.to = to;
this.climb = climb;
}
}
private static class State implements Comparable<State> {
int vertex;
long distance;
State(int vertex, long distance) {
this.vertex = vertex;
this.distance = distance;
}
@Override
public int compareTo(State other) {
return Long.compare(distance, other.distance);
}
}
private static class FastScanner {
private final BufferedInputStream input = new BufferedInputStream(System.in);
private final byte[] buffer = new byte[1 << 16];
private int length;
private int position;
private int read() throws IOException {
if (position == length) {
length = input.read(buffer);
position = 0;
if (length == -1) {
return -1;
}
}
return buffer[position++];
}
long nextLong() throws IOException {
int c;
do {
c = read();
} while (c <= ' ' && c != -1);
long value = 0;
while (c > ' ') {
value = value * 10 + c - '0';
c = read();
}
return value;
}
}
public static void main(String[] args) throws IOException {
FastScanner scanner = new FastScanner();
int n = (int) scanner.nextLong();
int m = (int) scanner.nextLong();
long[] height = new long[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
height[i] = scanner.nextLong();
}
List<List<Edge>> graph = new ArrayList<>(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
graph.add(new ArrayList<>());
}
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u = (int) scanner.nextLong() - 1;
int v = (int) scanner.nextLong() - 1;
graph.get(u).add(new Edge(v, Math.max(0L, height[v] - height[u])));
graph.get(v).add(new Edge(u, Math.max(0L, height[u] - height[v])));
}
long[] distance = new long[n];
Arrays.fill(distance, Long.MAX_VALUE);
distance[0] = 0;
PriorityQueue<State> queue = new PriorityQueue<>();
queue.add(new State(0, 0));
while (!queue.isEmpty()) {
State current = queue.poll();
if (current.distance != distance[current.vertex]) {
continue;
}
for (Edge edge : graph.get(current.vertex)) {
long nextDistance = current.distance + edge.climb;
if (nextDistance < distance[edge.to]) {
distance[edge.to] = nextDistance;
queue.add(new State(edge.to, nextDistance));
}
}
}
long answer = 0;
for (int v = 0; v < n; v++) {
if (distance[v] != Long.MAX_VALUE) {
answer = Math.max(answer, height[0] - height[v] - distance[v]);
}
}
System.out.println(answer);
}
}