定義
1. 環・体・分配法則
集合 $R$ に加法 $+$ と乗法 $\cdot$ の二つの二項演算が定められているとする。次の条件を満たすとき、$R$ を環という。
- $(R,+)$ はアーベル群である。
- 乗法は結合的である。すなわち、すべての $x,y,z\in R$ に対して $(xy)z=x(yz)$ が成り立つ。
- 乗法は加法に対して左右両側に分配する。すなわち、すべての $x,y,z\in R$ に対して $x(y+z)=xy+xz$ および $(x+y)z=xz+yz$ が成り立つ。
すべての $x,y\in R$ に対して $xy=yx$ が成り立つ環を可換環という。環に乗法単位元を要求するかどうかは文献によって異なるため、必要な場合には明記する。体とは、乗法が可換で、単位元 $1\ne0$ をもち、すべての 0 でない元が乗法逆元をもつ環である。つまり、各 $x\ne0$ に対して $xy=yx=1$ を満たす $y$ が存在する。
2. 距離
空でない集合 $X$ 上の関数 $d:X\times X\to\mathbb R$ が、すべての $x,y,z\in X$ に対して次の条件を満たすとき、$d$ を $X$ 上の距離という。
- 非負性： $d(x,y)\ge0$。
- 同一性： $d(x,y)=0$ であることと $x=y$ であることは同値である。
- 対称性： $d(x,y)=d(y,x)$。
- 三角不等式： $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$。
同一性の条件だけを弱め、異なる点の間の距離が 0 になることを許したものを擬距離（pseudometric）という。半距離（semimetric） は文献によって関連はあるものの異なる概念を表すことがあるため、ここでは用いない。
3. 距離空間
集合 $X$ とその上の距離 $d$ の組 $(X,d)$ を距離空間という。
4. ユークリッド距離
正の整数 $n$ に対して、ユークリッド空間 $\mathbb R^n$ は実数を成分にもつベクトル $x=(x_1,\ldots,x_n)$ 全体からなる。標準的な距離は次の式で与えられる。
\[d(x,y)=\left(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^2\right)^{1/2}.\]5. 開球
距離空間 $(X,d)$ において、中心 $x_0\in X$ と半径 $r>0$ に対する開球を次のように定める。
\[B_r(x_0)=\{x\in X:d(x_0,x)<r\}.\]中心からの距離がちょうど $r$ である点は開球に含まれない。
6. 近傍
$p\in X$ と $r>0$ に対し、開球 $B_r(p)$ は $p$ の近傍である。そこから $p$ 自身を除いた穴あき近傍を
\[B_r'(p)=B_r(p)\setminus\{p\}\]と表す。
7. 集積点（極限点）
$E\subseteq X$ とする。点 $p\in X$ が $E$ の集積点（極限点）であるとは、$p$ のすべての穴あき近傍が $E$ と交わることをいう。すなわち、
\[\forall r>0,\quad B_r'(p)\cap E\ne\varnothing.\]集積点 $p$ 自身が $E$ に属している必要はない。
8. 内点と外点
$E\subseteq X$ に対し、$p$ を中心とするある開球が全体として $E$ に含まれるとき、$p\in X$ を $E$ の内点という。
\[\exists r>0\text{ such that }B_r(p)\subseteq E.\]補集合 $E^c=X\setminus E$ の内点を $E$ の外点という。$E$ の内点全体を $\operatorname{int}(E)$ と表す。ある点が $E$ と $E^c$ の両方の内点になることはない。
9. 開集合と閉集合
距離空間 $X$ の部分集合 $E$ が開集合であるとは、$E$ の各点が内点であることをいう。これは次と同値である。
\[\forall x\in E,\ \exists r>0\text{ such that }B_r(x)\subseteq E.\]$X$ における補集合が開集合である集合を閉集合という。同値な特徴づけとして、$E$ がそのすべての集積点を含むとき、かつそのときに限り、$E$ は閉集合である。
10. 被覆
$E\subseteq X$ とし、$\mathcal U={U_\alpha}_{\alpha\in I}$ を $X$ の部分集合からなる族とする。
- $E\subseteq\bigcup_{\alpha\in I}U_\alpha$ のとき、$\mathcal U$ は $E$ の被覆である。
- すべての $U_\alpha$ が $X$ の開集合なら、開被覆という。
- それでも $E$ を被覆する部分族 ${U_\alpha}_{\alpha\in J}$（$J\subseteq I$）を部分被覆という。
- 添字集合 $J$ が有限なら、有限部分被覆という。
11. コンパクト集合
距離空間の部分集合 $E$ がコンパクトであるとは、$E$ の任意の開被覆が有限部分被覆をもつことをいう。すなわち、$E\subseteq\bigcup_{U\in\mathcal U}U$ を満たす $X$ の開集合族 $\mathcal U$ に対して、次を満たす有限部分族 $\mathcal V\subseteq\mathcal U$ が存在する。
\[E\subseteq\bigcup_{V\in\mathcal V}V.\]12. 順序集合
集合 $A$ と関係 $\le$ の組が半順序集合であるためには、その関係が反射律・反対称律・推移律を満たさなければならない。
- 反射律： すべての $a\in A$ に対して $a\le a$。
- 反対称律： $a\le b$ かつ $b\le a$ ならば $a=b$。
- 推移律： $a\le b$ かつ $b\le c$ ならば $a\le c$。
任意の二つの元が比較可能である順序を全順序という。
13. 上界・下界・上限・下限
順序集合 $(X,\le)$ の部分集合 $A\subseteq X$ を考える。すべての $x\in A$ に対して $x\le u$ が成り立つとき、$u\in X$ を $A$ の上界という。上界をもつ集合は上に有界である。$A$ の上界のうち、すべての上界以下であるものを $A$ の上限（最小上界）といい、存在するとき $\sup A$ と表す。
不等号の向きを逆にして下界と下に有界を定義する。すべての下界以上である下界を下限（最大下界）といい、存在するとき $\inf A$ と表す。上限や下限は $A$ の元であるとは限らない。
14. 有理数と無理数の稠密性
実数はそれ自身の中で稠密であり、異なる二つの実数の間には別の実数が存在する。具体的には、$p,q\in\mathbb R$ かつ $p<q$ ならば、$p<r<q$ を満たす $r\in\mathbb R$ が存在する。
有理数 $\mathbb Q$ と無理数 $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ もそれぞれ $\mathbb R$ に稠密である。すなわち、異なる二つの実数の間には有理数も無理数も存在する。
15. 実数の完備性
距離空間 $(X,d)$ の数列 $(a_n)$ が次の条件を満たすとき、コーシー列という。
\[\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb N\text{ such that }m,n\ge N\implies d(a_m,a_n)<\varepsilon.\]空間内のすべてのコーシー列がその空間の点に収束するとき、その距離空間は完備であるという。標準距離を備えた実数 $\mathbb R$ は完備であり、これを実数の完備性という。
16. 上極限と下極限
集合列 $(A_n)$ の集合論的な上極限と下極限を次のように定める。
\[\limsup_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k,\qquad \liminf_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k.\]したがって、$x\in\limsup A_n$ であることは $x$ が無限個の $A_n$ に属することを意味し、$x\in\liminf A_n$ であることは十分大きなすべての $n$ について $x\in A_n$ となることを意味する。
実数列 $(a_n)$ の上極限と下極限は、各尾部の上限と下限を用いて次のように定める。ここで上限・下限は拡張実数において取る。
\[\limsup_{n\to\infty}a_n=\inf_{n\ge1}\sup_{k\ge n}a_k,\qquad \liminf_{n\to\infty}a_n=\sup_{n\ge1}\inf_{k\ge n}a_k.\]