집합론, 대수학, 해석학에서 사용하는 기본 정의를 정리한다.
1. 집합
집합은 서로 구별되는 대상들의 모임이며, 각 대상을 원소라고 한다. $x\in X$는 $x$가 집합 $X$의 원소라는 뜻이다.
2. 외연적 정의와 내포적 정의
집합은 원소를 나열하는 외연적 정의 또는 원소가 만족해야 할 성질을 제시하는 내포적 정의로 나타낼 수 있다. 예를 들어 영문 소문자 전체의 집합은
\[\{a,b,c,\ldots,z\}\]로 쓸 수 있다.
3. 부분집합
$X$의 모든 원소가 $Y$에도 속하면 $X$를 $Y$의 부분집합이라 하며 $X\subseteq Y$로 쓴다.
\[X \subseteq Y \iff \forall x\,(x \in X \Rightarrow x \in Y).\]4. 합집합
$X$와 $Y$의 합집합$X\cup Y$는 두 집합 중 적어도 하나에 속하는 원소들로 이루어진다.
\[X \cup Y = \{x \mid x \in X \lor x \in Y\}.\]5. 교집합
$X$와 $Y$의 교집합$X\cap Y$는 두 집합 모두에 속하는 원소들로 이루어진다.
\[X \cap Y = \{x \mid x \in X \land x \in Y\}.\]6. 차집합
차집합$X\setminus Y$는 $X$에는 속하지만 $Y$에는 속하지 않는 원소들의 집합이다.
\[X \setminus Y = \{x \in X \mid x \notin Y\}.\]7. 여집합
전체집합 $U$를 고정하고 $X\subseteq U$라 하자. $X$의 여집합은
\[X^c = U \setminus X\]이다.
8. 공집합
공집합$\emptyset$은 원소가 없는 집합이며 모든 집합의 부분집합이다.
9. 멱집합
$X$의 멱집합은 $X$의 모든 부분집합으로 이루어진 집합이다.
\[\mathcal{P}(X) = \{A \mid A \subseteq X\}.\]| $2^X$로도 표기한다. $X$가 유한 집합이면 $ | \mathcal{P}(X) | =2^{ | X | }$이다. |
10. 데카르트 곱
$A$와 $B$의 데카르트 곱은 순서쌍들의 집합이다.
\[A \times B = \{(a,b) \mid a \in A,\ b \in B\}.\]집합 $X_1,\ldots,X_n$의 곱은
\[X_1 \times \cdots \times X_n = \{(x_1,\ldots,x_n) \mid \forall i,\ x_i \in X_i\}\]이다. 모든 $X_i$가 같은 집합 $X$이면 $X^n$으로 쓴다.
11. 대칭차
대칭차$A\triangle B$는 $A$와 $B$ 중 정확히 한쪽에만 속하는 원소들의 집합이다.
\[A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B).\]12. 군과 위수
군은 공집합이 아닌 집합 $G$와 이항연산 $\cdot:G\times G\to G$의 쌍으로, 결합법칙, 항등원의 존재, 각 원소의 역원의 존재를 만족한다. 모든 $x,y,z\in G$에 대해,
- $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$;
- $e\cdot x=x\cdot e=x$를 만족하는 항등원 $e\in G$가 존재한다;
- 각 $x\in G$에 대해 $x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=e$를 만족하는 역원 $x^{-1}\in G$가 존재한다.
결합적인 이항연산을 갖는 집합을 반군이라 하고, 항등원도 갖는 반군을 모노이드라 한다. 연산이 교환법칙을 만족하는 군은 아벨 군이다. 유한군의 위수는 원소의 개수다.
13. 대수적 수와 초월수
복소수가 유리수 계수의 0이 아닌 다항식의 근이면 대수적 수라고 한다. 대수적이지 않은 복소수는 초월수다.
14. 함수
함수 $f:X\to Y$는 $X$의 각 원소에 $Y$의 원소를 정확히 하나씩 대응시킨다. $X$를 정의역, $Y$를 공역이라 한다. 치역은
\[f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}\subseteq Y\]이다. 대응은 $x\mapsto f(x)$로 나타낸다.
15. 단사, 전사, 전단사 함수
함수 $f:X\to Y$에 대해,
- $f(x_1)=f(x_2)$이면 $x_1=x_2$일 때 단사;
- 모든 $y\in Y$에 대해 $f(x)=y$인 $x\in X$가 존재할 때 전사;
- 단사이면서 전사일 때 전단사라고 한다.
16. 역함수
$f:X\to Y$가 전단사일 때 그리고 그때에만 역함수 $f^{-1}:Y\to X$가 존재하며, $f^{-1}(f(x))=x$와 $f(f^{-1}(y))=y$를 만족한다.
17. 대등한 집합
$A$에서 $B$로 가는 전단사가 존재하면 $A$와 $B$는 대등하다고 하고 $A\sim B$로 쓴다.
18. 기수와 가산성
| 집합 $A$의 기수$ | A | $는 집합의 크기를 나타낸다. 유한 집합의 기수는 원소의 개수다. 자연수 집합 $\mathbb{N}$과 전단사인 무한 집합을 가산 무한이라고 한다. 가산은 유한 집합과 가산 무한 집합을 모두 뜻하는 경우가 많다. |
19. 기수의 비교
| $A$에서 $B$로 가는 단사가 있으면 $ | A | \leq | B | $이다. 두 기수가 같은 것은 두 집합 사이에 전단사가 있을 때 그리고 그때에만 성립한다. 일반적인 기수의 비교에서 $ | A | < | B | $는 $ | A | \leq | B | $이면서 $ | A | \ne | B | $임을 뜻한다. |