問題: BOJ 10868 — 最小値 · English · 한국어
各クエリでは 1 始まりの両端を含む区間 [a, b] が与えられ、その区間の最小値を求めます。反復型セグメント木では、N 個の値を tree[N..2N) に格納します。内部ノードは 2 つの子の最小値として下から順に構築します。このコンパクトな配列配置は、N が 2 のべき乗でなくても使えます。
クエリを 0 始まりの半開区間 [a - 1, b) に変換し、両端に N を加えて葉の添字にします。左端が右端より小さい間、left が右の子なら tree[left] を答えに反映して left を 1 増やします。右端が奇数なら tree[right - 1] を反映して right を 1 減らします。その後、両端を親に移して繰り返します。この境界判定により、求める区間をちょうど覆う互いに重ならないノードが選ばれます。答えを Integer.MAX_VALUE で初期化するため、要素 1 つだけの区間を含むすべての有効なクエリを処理できます。各クエリは O(log N) で処理されます。
木の構築に O(N)、M 個のクエリに O(M log N) かかるため、全体の時間計算量は O(N + M log N) です。木は整数 2N 個を保持するので、補助空間計算量は O(N) です。
Java
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import java.io.BufferedInputStream;
import java.io.BufferedWriter;
import java.io.IOException;
import java.io.OutputStreamWriter;
public class Main {
private static final class FastScanner {
private final BufferedInputStream input =
new BufferedInputStream(System.in);
private final byte[] buffer = new byte[1 << 16];
private int position;
private int length;
int nextInt() throws IOException {
int c;
do {
c = read();
} while (c <= ' ' && c != -1);
int sign = 1;
if (c == '-') {
sign = -1;
c = read();
}
int value = 0;
while (c > ' ') {
value = value * 10 + c - '0';
c = read();
}
return sign * value;
}
private int read() throws IOException {
if (position == length) {
length = input.read(buffer);
position = 0;
if (length == -1) {
return -1;
}
}
return buffer[position++];
}
}
public static void main(String[] args) throws Exception {
FastScanner input = new FastScanner();
int n = input.nextInt();
int m = input.nextInt();
int[] tree = new int[2 * n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
tree[n + i] = input.nextInt();
}
for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
tree[i] = Math.min(tree[i << 1], tree[i << 1 | 1]);
}
BufferedWriter output = new BufferedWriter(
new OutputStreamWriter(System.out));
while (m-- > 0) {
int left = input.nextInt() - 1 + n;
int right = input.nextInt() + n;
int minimum = Integer.MAX_VALUE;
while (left < right) {
if ((left & 1) != 0) {
minimum = Math.min(minimum, tree[left++]);
}
if ((right & 1) != 0) {
minimum = Math.min(minimum, tree[--right]);
}
left >>= 1;
right >>= 1;
}
output.write(Integer.toString(minimum));
output.newLine();
}
output.flush();
}
}