인접한 두 파일을 합치는 비용은 두 파일 크기의 합입니다. 파일의 순서는 유지되므로, 마지막으로 합치는 시점을 기준으로 최적의 과정을 나눌 수 있습니다. [i, k] 구간을 먼저 하나로 합치고 [k + 1, j] 구간도 하나로 합친 다음, 두 결과를 합치는 비용은 [i, j] 전체 크기입니다.
dp[i][j]를 0부터 시작하는 인덱스에서 i번부터 j번 파일까지 합치는 최소 비용으로 정의하고, prefix를 파일 크기의 누적 합으로 둡니다.
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dp[i][i] = 0
dp[i][j] = prefix[j + 1] - prefix[i]
+ min(dp[i][k] + dp[k + 1][j]), i <= k < j
누적 합으로 구간 크기를 상수 시간에 계산할 수 있습니다. 모든 분할점을 탐색하면 시간 복잡도는 O(K^3)입니다. 파일 크기가 양수이면 구간 크기 비용은 사각 부등식(quadrangle inequality)을 만족하고, 그에 따라 최적 분할점은 다음 단조성 불변식을 만족합니다.
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opt[i][j - 1] <= opt[i][j] <= opt[i + 1][j]
따라서 dp[i][j]를 계산할 때 분할점은 전체 [i, j)가 아니라 opt[i][j - 1]부터 opt[i + 1][j]까지만 확인하면 됩니다. opt[i][i] = i로 초기화하고 구간 길이가 짧은 것부터 계산하면 필요한 두 최적 분할점은 이미 구해져 있습니다. 각 구간에서 처음 발견한 최소값을 선택해 최적 분할점 표를 일관되게 유지합니다. 총 시간 복잡도는 O(K^2), dp와 opt를 위한 공간 복잡도는 O(K^2)이며 누적 합에는 O(K)가 필요합니다. 비용과 누적 합에는 모두 long을 사용합니다.
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import java.io.BufferedInputStream;
import java.io.IOException;
public class Main {
public static void main(String[] args) throws IOException {
FastScanner input = new FastScanner();
int testCases = input.nextInt();
StringBuilder output = new StringBuilder();
while (testCases-- > 0) {
int k = input.nextInt();
long[] prefix = new long[k + 1];
for (int i = 0; i < k; i++) {
prefix[i + 1] = prefix[i] + input.nextInt();
}
long[][] dp = new long[k][k];
int[][] opt = new int[k][k];
for (int i = 0; i < k; i++) {
opt[i][i] = i;
}
for (int length = 2; length <= k; length++) {
for (int i = 0; i + length <= k; i++) {
int j = i + length - 1;
int firstSplit = opt[i][j - 1];
int lastSplit = opt[i + 1][j];
long intervalSize = prefix[j + 1] - prefix[i];
long best = Long.MAX_VALUE;
int bestSplit = firstSplit;
for (int split = firstSplit; split <= lastSplit; split++) {
long cost = dp[i][split] + dp[split + 1][j] + intervalSize;
if (cost < best) {
best = cost;
bestSplit = split;
}
}
dp[i][j] = best;
opt[i][j] = bestSplit;
}
}
output.append(dp[0][k - 1]).append('\n');
}
System.out.print(output);
}
private static final class FastScanner {
private final BufferedInputStream input = new BufferedInputStream(System.in);
private final byte[] buffer = new byte[1 << 16];
private int length;
private int position;
private int read() throws IOException {
if (position == length) {
length = input.read(buffer);
position = 0;
if (length == -1) return -1;
}
return buffer[position++];
}
int nextInt() throws IOException {
int c;
do {
c = read();
} while (c <= ' ' && c != -1);
int value = 0;
while (c > ' ') {
value = value * 10 + c - '0';
c = read();
}
return value;
}
}
}