N명의 사람에게 N개의 일을 하나씩 배정합니다. 각 일은 정확히 한 번만 사용하며, 배정 비용의 합을 최소화합니다.
비트마스크 동적 계획법
dp[mask]를 mask에서 비트가 켜진 일들을 처음 Integer.bitCount(mask)명의 사람에게 배정했을 때의 최소 비용이라고 정의합니다. 따라서 다음에 배정할 사람의 인덱스는 Integer.bitCount(mask)입니다. 아직 배정하지 않은 각 일에 대해 해당 비트를 켜고 그 사람의 비용을 더합니다.
dp[mask | (1 << task)] = min(dp[mask | (1 << task)], dp[mask] + cost[person][task]).
빈 마스크의 비용은 0, 나머지 상태의 초기값은 INF입니다. 모든 일을 배정한 전체 마스크의 값이 정답입니다. 이 바텀업 방식은 비용이 0인 상태도 그대로 저장합니다. N <= 20, 각 비용이 최대 1,000,000이므로 완성된 배정의 총비용은 최대 20,000,000이며 INF = 1,000,000,000보다 작습니다.
마스크는 2^N개이고 각 마스크에서 최대 N개의 전이를 확인하므로 시간 복잡도는 O(N * 2^N), 공간 복잡도는 O(2^N)입니다.
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import java.io.BufferedInputStream;
import java.io.IOException;
public class Main {
private static final int INF = 1_000_000_000;
public static void main(String[] args) throws IOException {
FastScanner input = new FastScanner();
int n = input.nextInt();
int[][] cost = new int[n][n];
for (int person = 0; person < n; person++) {
for (int task = 0; task < n; task++) {
cost[person][task] = input.nextInt();
}
}
int stateCount = 1 << n;
int[] dp = new int[stateCount];
for (int mask = 1; mask < stateCount; mask++) {
dp[mask] = INF;
}
for (int mask = 0; mask < stateCount; mask++) {
int person = Integer.bitCount(mask);
if (person == n) {
continue;
}
for (int task = 0; task < n; task++) {
int taskBit = 1 << task;
if ((mask & taskBit) == 0) {
int nextMask = mask | taskBit;
dp[nextMask] = Math.min(
dp[nextMask],
dp[mask] + cost[person][task]
);
}
}
}
System.out.println(dp[stateCount - 1]);
}
private static class FastScanner {
private final BufferedInputStream input = new BufferedInputStream(System.in);
int nextInt() throws IOException {
int c;
do {
c = input.read();
} while (c <= ' ' && c != -1);
int value = 0;
while (c > ' ') {
value = value * 10 + c - '0';
c = input.read();
}
return value;
}
}
}