중간에서 만나기
N = 30일 때 모든 부분집합을 열거하면 O(2^N) 시간이 필요합니다. 대신 물건을 두 그룹으로 나누고 각 그룹의 부분집합 합을 구합니다. 각 목록의 크기는 최대 2^(N/2)입니다. 오른쪽 그룹의 합을 정렬한 다음, 모든 왼쪽 그룹 합 s에 대해 C - s보다 큰 첫 번째 오른쪽 합의 위치를 이분 탐색으로 찾습니다. 그 위치 앞의 합 개수가 s와 함께 담을 수 있는 오른쪽 그룹 선택의 수입니다.
두 부분집합 합 목록은 빈 부분집합의 합 0에서 시작하므로 빈 부분집합도 정확히 한 번 계산됩니다. 합이 0인 부분집합 합을 버리면 안 됩니다. 합이 같더라도 서로 다른 부분집합은 각각 별개의 선택입니다. 물건의 무게는 모두 양수이므로 C보다 큰 한쪽 합은 유효한 조합에 포함될 수 없습니다. 구현은 그런 합만 제외합니다. 정답은 최대 2^30이 될 수 있으므로 부분합과 정답에 long을 사용합니다.
시간 복잡도는 O(2^(N/2) log 2^(N/2)), 공간 복잡도는 O(2^(N/2))입니다.
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import java.io.BufferedInputStream;
import java.io.IOException;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.List;
public class Main {
public static void main(String[] args) throws IOException {
FastScanner input = new FastScanner();
int n = input.nextInt();
long capacity = input.nextLong();
int middle = n / 2;
int[] weights = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
weights[i] = input.nextInt();
}
List<Long> leftSums = subsetSums(weights, 0, middle, capacity);
List<Long> rightSums = subsetSums(weights, middle, n, capacity);
Collections.sort(rightSums);
long count = 0;
for (long leftSum : leftSums) {
count += upperBound(rightSums, capacity - leftSum);
}
System.out.println(count);
}
private static List<Long> subsetSums(int[] weights, int from, int to, long capacity) {
List<Long> sums = new ArrayList<>();
sums.add(0L);
for (int i = from; i < to; i++) {
int currentSize = sums.size();
for (int j = 0; j < currentSize; j++) {
long nextSum = sums.get(j) + weights[i];
if (nextSum <= capacity) {
sums.add(nextSum);
}
}
}
return sums;
}
private static int upperBound(List<Long> sorted, long value) {
int low = 0;
int high = sorted.size();
while (low < high) {
int middle = low + (high - low) / 2;
if (sorted.get(middle) <= value) {
low = middle + 1;
} else {
high = middle;
}
}
return low;
}
private static class FastScanner {
private final BufferedInputStream input = new BufferedInputStream(System.in);
int nextInt() throws IOException {
return (int) nextLong();
}
long nextLong() throws IOException {
int c;
do {
c = input.read();
} while (c <= ' ' && c != -1);
long value = 0;
while (c > ' ') {
value = value * 10 + c - '0';
c = input.read();
}
return value;
}
}
}