축소구간 정리
실수 집합 $\mathbb{R}$의 공집합이 아닌 닫힌구간들로 이루어진 열 $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$을 생각하자. 각 구간을 $I_n=[a_n,b_n]$이라 하고, 그 길이를 $|I_n|=b_n-a_n$으로 나타내자.
다음 두 조건을 가정한다.
- 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $I_{n+1}\subseteq I_n$이다.
$n\to\infty$일 때 $ I_n \to 0$이다.
그러면 모든 구간에 공통으로 속하는 실수는 정확히 하나 존재한다. 즉,
\[\bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_n=\{x\}\]이다. 구간들이 중첩되고 공집합이 아니라는 조건은 공통점의 존재를 보장하며, 구간의 길이가 0으로 수렴한다는 조건은 그 공통점의 유일성을 보장한다.
증명
구간들이 중첩되므로 왼쪽 끝점들은 단조 증가하여 $a_n\leq a_{n+1}$이다. 또한 모든 $n$에 대해 $a_n\leq b_n\leq b_1$이므로 왼쪽 끝점들은 위로 유계이다. 실수의 완비성에 따라 왼쪽 끝점들의 집합은 상한을 가지므로 다음과 같이 놓자.
\[x=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}.\]$x$가 모든 $I_n$에 속함을 보이자. $n$을 하나 고정하자. 임의의 지표 $m$에 대해 $a_m\leq b_n$이다. $m\geq n$이면 $I_m\subseteq I_n$이고, $m<n$이면 $a_m\leq a_n\leq b_n$이기 때문이다. 따라서 $b_n$은 모든 왼쪽 끝점의 상계이므로 $x\leq b_n$이다. 한편 상한의 정의에 의해 $a_n\leq x$이다. 그러므로 $a_n\leq x\leq b_n$, 즉 $x\in I_n$이다. 이는 모든 $n$에 대해 성립하므로 공통점이 존재한다.
이제 유일성을 보이자. $x$와 $y$가 모두 모든 구간에 속한다고 가정하면, 각 $n$에 대해
\[|x-y|\leq b_n-a_n=|I_n|\]| 이다. $ | I_n | \to 0$이므로 음이 아닌 수 $ | x-y | $는 임의로 작은 양수보다도 |
| 작거나 같다. 따라서 $ | x-y | =0$, 즉 $x=y$이다. 공통점은 유일하다. |