入れ子区間定理
実数全体の集合 $\mathbb{R}$ における、空でない閉区間の列 $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を考える。各区間を $I_n=[a_n,b_n]$ とし、その 長さを $|I_n|=b_n-a_n$ と表す。
次の二つの条件を仮定する。
- すべての $n\in\mathbb{N}$ について $I_{n+1}\subseteq I_n$ である。
$n\to\infty$ のとき $ I_n \to 0$ である。
このとき、すべての区間に共通して含まれる実数がただ一つ存在する。すなわち、
\[\bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_n=\{x\}\]である。区間が空でなく、互いに入れ子になっていることから共通点の存在が 保証され、区間の長さが 0 に収束することから、その共通点の一意性が保証される。
証明
区間が入れ子になっているので、左端点は単調非減少であり $a_n\leq a_{n+1}$ となる。また、すべての $n$ について $a_n\leq b_n\leq b_1$ だから、左端点の列は上に有界である。実数の完備性 により左端点全体の集合には上限が存在する。そこで
\[x=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}\]と定める。
$x$ がすべての $I_n$ に属することを示そう。$n$ を固定する。任意の添字 $m$ について $a_m\leq b_n$ である。$m\geq n$ なら $I_m\subseteq I_n$ であり、 $m<n$ なら $a_m\leq a_n\leq b_n$ だからである。したがって $b_n$ はすべての 左端点の上界であり、$x\leq b_n$ となる。一方、上限の定義から $a_n\leq x$ である。よって $a_n\leq x\leq b_n$、すなわち $x\in I_n$ である。これはすべての $n$ について成り立つため、共通点が存在する。
次に一意性を示す。$x$ と $y$ がともにすべての区間に属すると仮定すると、 すべての $n$ について
\[|x-y|\leq b_n-a_n=|I_n|\]が成り立つ。$|I_n|\to 0$ なので、非負の数 $|x-y|$ はいくらでも小さい正の数 以下である。したがって $|x-y|=0$、つまり $x=y$ である。ゆえに共通点は ただ一つである。