2台の警察車両が最後に担当した事件による動的計画法
dp[a][b] を、警察車両1が最後に担当した事件番号が a、警察車両2が最後に担当した事件番号が b のとき、残りの事件をすべて担当する最小移動距離とします。0 はまだ事件を担当していないことを表します。そのため a = 0 の車両1の位置は (1, 1)、b = 0 の車両2の位置は (N, N) で、それ以外は該当する事件の位置です。
両車両が合わせて max(a, b) 番目まで担当しているため、次の事件は常に max(a, b) + 1 です。この事件を車両1または2に割り当てる2通りだけを考えます。各場合の移動距離は、現在位置から次の事件までのマンハッタン距離です。
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dp[a][b] = 0 if max(a, b) = W
next = max(a, b) + 1
dp[a][b] = min(
distance(car 1 position(a), incident[next]) + dp[next][b],
distance(car 2 position(b), incident[next]) + dp[a][next]
)
各遷移で次の事件を1つ担当するため、再帰状態は終了状態に到達します。2つの割り当てのうち小さい方を選べば最適性が保たれ、メモ化により各 (a, b) 状態は一度だけ計算されます。答えを求めた後、同じ2つの費用を比較して各事件の担当車両を出力します。費用が同じ場合はどちらを選んでも最適で、このコードでは車両1を選択します。W = 0 のとき開始状態が終了状態なので、費用 0 のみを出力し、担当車両の行はありません。時間計算量、空間計算量はいずれも O(W²) です。
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import java.io.BufferedInputStream;
import java.io.IOException;
public class Main {
private static int n;
private static int w;
private static int[][] incidents;
private static int[][] memo;
public static void main(String[] args) throws IOException {
FastScanner input = new FastScanner();
n = input.nextInt();
w = input.nextInt();
incidents = new int[w + 1][2];
for (int i = 1; i <= w; i++) {
incidents[i][0] = input.nextInt();
incidents[i][1] = input.nextInt();
}
memo = new int[w + 1][w + 1];
for (int i = 0; i <= w; i++) {
for (int j = 0; j <= w; j++) {
memo[i][j] = -1;
}
}
StringBuilder output = new StringBuilder();
output.append(minimumDistance(0, 0)).append('\n');
int car1Last = 0;
int car2Last = 0;
while (Math.max(car1Last, car2Last) < w) {
int next = Math.max(car1Last, car2Last) + 1;
int car1Cost = distance(1, car1Last, next)
+ minimumDistance(next, car2Last);
int car2Cost = distance(2, car2Last, next)
+ minimumDistance(car1Last, next);
if (car1Cost <= car2Cost) {
output.append(1).append('\n');
car1Last = next;
} else {
output.append(2).append('\n');
car2Last = next;
}
}
System.out.print(output);
}
private static int minimumDistance(int car1Last, int car2Last) {
if (Math.max(car1Last, car2Last) == w) return 0;
if (memo[car1Last][car2Last] != -1) return memo[car1Last][car2Last];
int next = Math.max(car1Last, car2Last) + 1;
int assignToCar1 = distance(1, car1Last, next)
+ minimumDistance(next, car2Last);
int assignToCar2 = distance(2, car2Last, next)
+ minimumDistance(car1Last, next);
memo[car1Last][car2Last] = Math.min(assignToCar1, assignToCar2);
return memo[car1Last][car2Last];
}
private static int distance(int car, int lastIncident, int nextIncident) {
int startRow = lastIncident == 0 ? (car == 1 ? 1 : n) : incidents[lastIncident][0];
int startColumn = lastIncident == 0 ? (car == 1 ? 1 : n) : incidents[lastIncident][1];
return Math.abs(startRow - incidents[nextIncident][0])
+ Math.abs(startColumn - incidents[nextIncident][1]);
}
private static final class FastScanner {
private final BufferedInputStream input = new BufferedInputStream(System.in);
private final byte[] buffer = new byte[1 << 16];
private int length;
private int position;
private int read() throws IOException {
if (position == length) {
length = input.read(buffer);
position = 0;
if (length == -1) return -1;
}
return buffer[position++];
}
int nextInt() throws IOException {
int c;
do {
c = read();
} while (c <= ' ' && c != -1);
int value = 0;
while (c > ' ') {
value = value * 10 + c - '0';
c = read();
}
return value;
}
}
}