수열에 대한 정리
$d\geq 1$인 유한 차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^d$의 유계 수열 $(x_n)$은 수렴하는 부분수열을 갖는다. 그 극한은 $\mathbb{R}^d$에 속하지만, 수열의 항일 필요는 없다.
수열에 필요한 가정은 유계성뿐이다. 특히 수열이 취하는 값들의 집합이 닫혀 있을 필요는 없다.
증명
$x_n=(x_n^{(1)},\ldots,x_n^{(d)})$라고 쓰자. 유클리드 노름에 대해 $(x_n)$이 유계이므로 각 좌표 수열 $(x_n^{(j)})$도 실수에서 유계이다.
먼저 실수 수열의 경우를 보자. 유계 실수 수열은 어떤 닫힌 구간 $I_0$에 포함된다. 이 구간을 이등분하면 두 닫힌 반구간 중 적어도 하나에는 항의 인덱스가 무한히 많이 들어 있다. 그런 반구간 하나를 $I_1$로 택하고, 같은 과정을 반복한다. 그러면
\[I_0\supseteq I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots\]인 닫힌 구간열을 얻으며, 각 구간의 길이는 0으로 수렴한다. 축소 구간 정리에 따라 이 구간들의 교집합은 실수 $a$ 하나로 이루어진다. $k$번째로 택한 항이 $I_k$에 들어가도록 인덱스 $n_k$를 차례로, 엄격히 증가하게 고른다. $m\geq k$이면 $m$번째 선택 항과 $a$는 모두 $I_k$에 있으므로 두 값의 거리는 $I_k$의 길이 이하이다. 구간의 길이가 0으로 수렴하므로 이 부분수열은 $a$로 수렴한다.
이제 실수에 대한 결과를 $(x_n)$의 첫 번째 좌표에 적용하여, 첫 번째 좌표가 수렴하는 부분수열을 취한다. 그 부분수열의 두 번째 좌표에 같은 결과를 적용하고, 이를 모든 좌표에 대해 반복한다. 좌표는 유한 개이므로 마지막에는 모든 좌표가 수렴하는 하나의 부분수열 $(x_{n_k})$을 얻는다. 각 좌표의 극한을 $a^{(j)}$라 하고 $a=(a^{(1)},\ldots,a^{(d)})$라고 하자. 나중에 더 작은 부분수열을 택해도 이미 수렴한 좌표의 수렴은 유지된다.
임의의 $\varepsilon>0$에 대해 좌표별 수렴으로부터 충분히 큰 모든 $k$와 모든 $j$에 대해 $|x_{n_k}^{(j)}-a^{(j)}|<\varepsilon/\sqrt d$가 성립한다. 따라서
\[\|x_{n_k}-a\|_2 =\sqrt{\sum_{j=1}^d|x_{n_k}^{(j)}-a^{(j)}|^2}<\varepsilon.\]즉 $x_{n_k}\to a$이며 정리가 증명되었다.
부분집합의 콤팩트성
수열에 대한 정리는 모든 유계 부분집합이 콤팩트라는 뜻이 아니다. $K\subseteq\mathbb{R}^d$에 대해 하이네–보렐 정리는 $K$가 콤팩트일 필요충분조건이 닫혀 있고 유계인 것이라고 말한다. 유클리드 공간에서는 이는 $K$의 모든 수열이 $K$ 안의 점으로 수렴하는 부분수열을 갖는다는 조건, 즉 점렬 콤팩트성과도 동치이다.
이 집합에 대한 서술에서는 닫힘이 중요하다. 예를 들어 $(0,1)$은 유계이지만 콤팩트하지 않으며, 그 안의 수열 $x_n=1/n$은 $(0,1)$의 점으로 수렴하는 부분수열을 갖지 않는다. 볼차노–바이어슈트라스 정리 자체가 말하는 것은 $\mathbb{R}^d$의 유계 수열이 $\mathbb{R}^d$ 안에서 수렴하는 부분수열을 갖는다는 것이다.